حل {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+5y=5$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$x=-5y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+5 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

اضرب 3 في -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

اجمع -15y مع -2y.

$$-17y+15=3$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-17y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=\frac{12}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{17} في x=-5y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

اضرب -5 في \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

تبسيط.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

اطرح 3x-2y=3 من 3x+15y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+2y=15-3$$

اجمع 15y مع 2y.

$$17y=15-3$$

اجمع 15 مع -3.

$$17y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=\frac{12}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{17} في 3x-2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

اضرب -2 في \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

أضف \frac{24}{17} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{75}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{25}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$