حل {l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=5$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+5 في المعادلة الأخرى، -2x-y=-4.

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

اضرب -2 في -4y+5.

$$8y-10-y=-4$$

اجمع 8y مع -y.

$$7y-10=-4$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$7y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{6}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{7} في x=-4y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

اضرب -4 في \frac{6}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{24}{7}.

$$x=\frac{11}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

تبسيط.

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

اطرح -2x-y=-4 من -2x-8y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y+y=-10+4$$

اجمع -8y مع y.

$$-7y=-10+4$$

اجمع -10 مع 4.

$$-7y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{6}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{7} في -2x-y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

أضف \frac{6}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{11}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$