حل {l}{x+4y=1}{2x+y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+1 في المعادلة الأخرى، 2x+y=-5.

$$2\left(-4y+1\right)+y=-5$$

اضرب 2 في -4y+1.

$$-8y+2+y=-5$$

اجمع -8y مع y.

$$-7y+2=-5$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-7y=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-4y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4+1$$

اجمع 1 مع -4.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 2}&-\frac{4}{1-4\times 2}\\-\frac{2}{1-4\times 2}&\frac{1}{1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\left(-5\right)\\\frac{2}{7}-\frac{1}{7}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\times 4y=2,2x+y=-5$$

تبسيط.

$$2x+8y=2,2x+y=-5$$

اطرح 2x+y=-5 من 2x+8y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+8y-y=2+5$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-y=2+5$$

اجمع 8y مع -y.

$$7y=2+5$$

اجمع 2 مع 5.

$$7y=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 2x+y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+1=-5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$2x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=1$$