حل {l}{x+4y=-1}{2x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = - 1 } \\ { 2 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=-1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y-1$$

عوّض عن x بالقيمة -4y-1 في المعادلة الأخرى، 2x-4y=4.

$$2\left(-4y-1\right)-4y=4$$

اضرب 2 في -4y-1.

$$-8y-2-4y=4$$

اجمع -8y مع -4y.

$$-12y-2=4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-12y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في x=-4y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

اضرب -4 في -\frac{1}{2}.

$$x=2-1$$

اجمع -1 مع 2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 2}&-\frac{4}{-4-4\times 2}\\-\frac{2}{-4-4\times 2}&\frac{1}{-4-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\times 4y=2\left(-1\right),2x-4y=4$$

تبسيط.

$$2x+8y=-2,2x-4y=4$$

اطرح 2x-4y=4 من 2x+8y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+8y+4y=-2-4$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+4y=-2-4$$

اجمع 8y مع 4y.

$$12y=-2-4$$

اجمع -2 مع -4.

$$12y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في 2x-4y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-4\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

اضرب -4 في -\frac{1}{2}.

$$2x+2=4$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$2x=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$