حل {l}{x+2y=7}{4x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+7 في المعادلة الأخرى، 4x+3y=8.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=8$$

اضرب 4 في -2y+7.

$$-8y+28+3y=8$$

اجمع -8y مع 3y.

$$-5y+28=8$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-2y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 4+7$$

اضرب -2 في 4.

$$x=-8+7$$

اجمع 7 مع -8.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=7,4x+3y=8$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=8$$

تبسيط.

$$4x+8y=28,4x+3y=8$$

اطرح 4x+3y=8 من 4x+8y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+8y-3y=28-8$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-3y=28-8$$

اجمع 8y مع -3y.

$$5y=28-8$$

اجمع 28 مع -8.

$$5y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 4x+3y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\times 4=8$$

اضرب 3 في 4.

$$4x+12=8$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=4$$