حل {l}{x+2y=0}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=0,x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=0$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y$$

عوّض عن x بالقيمة -2y في المعادلة الأخرى، x+y=1.

$$-2y+y=1$$

اجمع -2y مع y.

$$-y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-2y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-1\right)$$

اضرب -2 في -1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=0,x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{2}{1-2}\\-\frac{1}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=0,x+y=1$$

اطرح x+y=1 من x+2y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+2y-y=-1$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-y=-1$$

اجمع 2y مع -y.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-1=1$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$