حل {l}{x+2y=-18}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 18 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

$$y = -\frac{53}{7} = -7\frac{4}{7} \approx -7.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=-18$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y-18$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-18 في المعادلة الأخرى، 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-18\right)-y=-1$$

اضرب 3 في -2y-18.

$$-6y-54-y=-1$$

اجمع -6y مع -y.

$$-7y-54=-1$$

أضف 54 إلى طرفي المعادلة.

$$-7y=53$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{53}{7} في x=-2y-18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-\frac{53}{7}\right)-18$$

اضرب -2 في -\frac{53}{7}.

$$x=\frac{106}{7}-18$$

اجمع -18 مع \frac{106}{7}.

$$x=-\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\-\frac{53}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-18\right),3x-y=-1$$

تبسيط.

$$3x+6y=-54,3x-y=-1$$

اطرح 3x-y=-1 من 3x+6y=-54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+6y+y=-54+1$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+y=-54+1$$

اجمع 6y مع y.

$$7y=-54+1$$

اجمع -54 مع 1.

$$7y=-53$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{53}{7} في 3x-y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-\left(-\frac{53}{7}\right)=-1$$

اطرح \frac{53}{7} من طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{60}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$