حل {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a+5b=2$$

اطرح 5b من طرفي المعادلة.

$$a=-5b+2$$

عوّض عن a بالقيمة -5b+2 في المعادلة الأخرى، a-2b=1.

$$-5b+2-2b=1$$

اجمع -5b مع -2b.

$$-7b+2=1$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-7b=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$b=\frac{1}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{1}{7} في a=-5b+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

اضرب -5 في \frac{1}{7}.

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{5}{7}.

$$a=\frac{9}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

اطرح a-2b=1 من a+5b=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$a-a+5b+2b=2-1$$

اجمع a مع -a. حذف الحدين a و-a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5b+2b=2-1$$

اجمع 5b مع 2b.

$$7b=2-1$$

اجمع 2 مع -1.

$$7b=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$b=\frac{1}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{1}{7} في a-2b=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

اضرب -2 في \frac{1}{7}.

$$a-\frac{2}{7}=1$$

أضف \frac{2}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$a=\frac{9}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$