حل {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x-4y=8$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$9x=4y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8+4y}{9} في المعادلة الأخرى، 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

اضرب 6 في \frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

اجمع \frac{8y}{3} مع -2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

اطرح \frac{16}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{7}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{2} في x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

اضرب \frac{4}{9} في -\frac{7}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

اجمع \frac{8}{9} مع -\frac{14}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

لجعل 9x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

تبسيط.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

اطرح 54x-18y=27 من 54x-24y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

اجمع 54x مع -54x. حذف الحدين 54x و-54x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-24y+18y=48-27$$

اجمع -24y مع 18y.

$$-6y=48-27$$

اجمع 48 مع -27.

$$-6y=21$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-\frac{7}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{2} في 6x-2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

اضرب -2 في -\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$6x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$