حل {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+2y=62$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$9x=-2y+62$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+62}{9} في المعادلة الأخرى، 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

اضرب 4 في \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

اجمع -\frac{8y}{9} مع 4y.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

اطرح \frac{248}{9} من طرفي المعادلة.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{28}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{19}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{7} في x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

اضرب -\frac{2}{9} في \frac{19}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

اجمع \frac{62}{9} مع -\frac{38}{63} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{44}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

لجعل 9x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

تبسيط.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

اطرح 36x+36y=324 من 36x+8y=248 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

اجمع 36x مع -36x. حذف الحدين 36x و-36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-36y=248-324$$

اجمع 8y مع -36y.

$$-28y=248-324$$

اجمع 248 مع -324.

$$-28y=-76$$

قسمة طرفي المعادلة على -28.

$$y=\frac{19}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{7} في 4x+4y=36. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

اضرب 4 في \frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

اطرح \frac{76}{7} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{176}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{44}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$