حل {l}{9x+2y=62}{4x+3y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+2y=62$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$9x=-2y+62$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+62}{9} في المعادلة الأخرى، 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

اضرب 4 في \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

اجمع -\frac{8y}{9} مع 3y.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

اطرح \frac{248}{9} من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

اضرب -\frac{2}{9} في 4.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

اجمع \frac{62}{9} مع -\frac{8}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

لجعل 9x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

تبسيط.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

اطرح 36x+27y=324 من 36x+8y=248 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

اجمع 36x مع -36x. حذف الحدين 36x و-36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-27y=248-324$$

اجمع 8y مع -27y.

$$-19y=248-324$$

اجمع 248 مع -324.

$$-19y=-76$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 4x+3y=36. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\times 4=36$$

اضرب 3 في 4.

$$4x+12=36$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$4x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=4$$