حل {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=1$$

$$n=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$9m-13n=22$$

أضف 13n إلى طرفي المعادلة.

$$9m=13n+22$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{13n+22}{9} في المعادلة الأخرى، 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

اضرب 2 في \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

اجمع \frac{26n}{9} مع 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

اطرح \frac{44}{9} من طرفي المعادلة.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{53}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=-1$$

عوّض عن n بالقيمة -1 في m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

اضرب \frac{13}{9} في -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

اجمع \frac{22}{9} مع -\frac{13}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=1,n=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

لجعل 9m و2m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

اطرح 18m+27n=-9 من 18m-26n=44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

اجمع 18m مع -18m. حذف الحدين 18m و-18m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-26n-27n=44+9$$

اجمع -26n مع -27n.

$$-53n=44+9$$

اجمع 44 مع 9.

$$-53n=53$$

قسمة طرفي المعادلة على -53.

$$n=-1$$

عوّض عن n بالقيمة -1 في 2m+3n=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

اضرب 3 في -1.

$$2m-3=-1$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$2m=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=-1$$