حل {l}{8x-5=7y-9}{6x=3y+6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 5 = 7 y - 9 } \\ { 6 x = 3 y + 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$8x-5-7y=-9$$

إضافة 5 لكلا الجانبين.

$$8x-7y=-9+5$$

اجمع -9 مع 5 لتحصل على -4.

$$8x-7y=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$6x-3y=6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x-7y=-4$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$8x=7y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(7y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في 7y-4.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{8}-\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 6x-3y=6.

$$6\left(\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}\right)-3y=6$$

اضرب 6 في \frac{7y}{8}-\frac{1}{2}.

$$\frac{21}{4}y-3-3y=6$$

اجمع \frac{21y}{4} مع -3y.

$$\frac{9}{4}y-3=6$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{4}y=9$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{8}\times 4-\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{7}{8} في 4.

$$x=\frac{7-1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{7}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$8x-5-7y=-9$$

إضافة 5 لكلا الجانبين.

$$8x-7y=-9+5$$

اجمع -9 مع 5 لتحصل على -4.

$$8x-7y=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$6x-3y=6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{18}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{7}{18}\times 6\\-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 7y من الطرفين.

$$8x-5-7y=-9$$

إضافة 5 لكلا الجانبين.

$$8x-7y=-9+5$$

اجمع -9 مع 5 لتحصل على -4.

$$8x-7y=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$6x-3y=6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

لجعل 8x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$6\times 8x+6\left(-7\right)y=6\left(-4\right),8\times 6x+8\left(-3\right)y=8\times 6$$

تبسيط.

$$48x-42y=-24,48x-24y=48$$

اطرح 48x-24y=48 من 48x-42y=-24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$48x-48x-42y+24y=-24-48$$

اجمع 48x مع -48x. حذف الحدين 48x و-48x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-42y+24y=-24-48$$

اجمع -42y مع 24y.

$$-18y=-24-48$$

اجمع -24 مع -48.

$$-18y=-72$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 6x-3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-3\times 4=6$$

اضرب -3 في 4.

$$6x-12=6$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$