حل {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x-4y=2$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$8x=4y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+\frac{1}{4} في المعادلة الأخرى، 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

اضرب 2 في \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

اجمع y مع 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$4y=\frac{11}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{11}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{8} في x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

اضرب \frac{1}{2} في \frac{11}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{11}{16} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15}{16}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

لجعل 8x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

تبسيط.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

اطرح 16x+24y=48 من 16x-8y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

اجمع 16x مع -16x. حذف الحدين 16x و-16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-24y=4-48$$

اجمع -8y مع -24y.

$$-32y=4-48$$

اجمع 4 مع -48.

$$-32y=-44$$

قسمة طرفي المعادلة على -32.

$$y=\frac{11}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{8} في 2x+3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

اضرب 3 في \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

اطرح \frac{33}{8} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{15}{8}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{15}{16}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$