حل {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-8y=9$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=8y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y+9}{7} في المعادلة الأخرى، 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

اضرب 4 في \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

اجمع \frac{32y}{7} مع -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

اطرح \frac{36}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{59}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{106}{59}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{106}{59} في x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

اضرب \frac{8}{7} في \frac{106}{59} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

اجمع \frac{9}{7} مع \frac{848}{413} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{197}{59}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

لجعل 7x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

تبسيط.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

اطرح 28x-91y=-70 من 28x-32y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-32y+91y=36+70$$

اجمع -32y مع 91y.

$$59y=36+70$$

اجمع 36 مع 70.

$$59y=106$$

قسمة طرفي المعادلة على 59.

$$y=\frac{106}{59}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{106}{59} في 4x-13y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

اضرب -13 في \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

أضف \frac{1378}{59} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{788}{59}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{197}{59}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$