حل {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+3y=43$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$7x=-3y+43$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -3y+43.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+43}{7} في المعادلة الأخرى، 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

اضرب 4 في \frac{-3y+43}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

اجمع -\frac{12y}{7} مع -3y.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

اطرح \frac{172}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{33}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

اضرب -\frac{3}{7} في -9.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

اجمع \frac{43}{7} مع \frac{27}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

لجعل 7x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

تبسيط.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

اطرح 28x-21y=469 من 28x+12y=172 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+21y=172-469$$

اجمع 12y مع 21y.

$$33y=172-469$$

اجمع 172 مع -469.

$$33y=-297$$

قسمة طرفي المعادلة على 33.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في 4x-3y=67. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

اضرب -3 في -9.

$$4x+27=67$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$4x=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=-9$$