حل {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+2y=24$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$7x=-2y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+24}{7} في المعادلة الأخرى، 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

اضرب 8 في \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

اجمع -\frac{16y}{7} مع 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

اطرح \frac{192}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

اضرب -\frac{2}{7} في -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

اجمع \frac{24}{7} مع \frac{18}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

اطرح 8x+2y=30 من 7x+2y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7x-8x=24-30$$

اجمع 7x مع -8x.

$$-x=24-30$$

اجمع 24 مع -30.

$$-x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=6$$

عوّض عن x بالقيمة 6 في 8x+2y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$8\times 6+2y=30$$

اضرب 8 في 6.

$$48+2y=30$$

اطرح 48 من طرفي المعادلة.

$$2y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-9$$