حل {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

اجمع -6 مع 5 لتحصل على -1.

$$2x-1=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-1-y=-1$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-1+1$$

اجمع -1 مع 1 لتحصل على 0.

$$2x-y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+18y=43$$

اطرح 18y من طرفي المعادلة.

$$7x=-18y+43$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-18y+43}{7} في المعادلة الأخرى، 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

اضرب 2 في \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

اجمع -\frac{36y}{7} مع -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

اطرح \frac{86}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{43}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

اضرب -\frac{18}{7} في 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

اجمع \frac{43}{7} مع -\frac{36}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

اجمع -6 مع 5 لتحصل على -1.

$$2x-1=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-1-y=-1$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-1+1$$

اجمع -1 مع 1 لتحصل على 0.

$$2x-y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

اجمع -6 مع 5 لتحصل على -1.

$$2x-1=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$2x-1-y=-1$$

إضافة 1 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-1+1$$

اجمع -1 مع 1 لتحصل على 0.

$$2x-y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

لجعل 7x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

تبسيط.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

اطرح 14x-7y=0 من 14x+36y=86 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36y+7y=86$$

اجمع 36y مع 7y.

$$43y=86$$

قسمة طرفي المعادلة على 43.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x-y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2=0$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$