حل {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-2$$

$$b=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$7a-10b=-64$$

أضف 10b إلى طرفي المعادلة.

$$7a=10b-64$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{10b-64}{7} في المعادلة الأخرى، 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

اضرب 3 في \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

اجمع \frac{30b}{7} مع 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

أضف \frac{192}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{65}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=5$$

عوّض عن b بالقيمة 5 في a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

اضرب \frac{10}{7} في 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

اجمع -\frac{64}{7} مع \frac{50}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-2,b=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-2,b=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

لجعل 7a و3a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

تبسيط.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

اطرح 21a+35b=133 من 21a-30b=-192 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

اجمع 21a مع -21a. حذف الحدين 21a و-21a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30b-35b=-192-133$$

اجمع -30b مع -35b.

$$-65b=-192-133$$

اجمع -192 مع -133.

$$-65b=-325$$

قسمة طرفي المعادلة على -65.

$$b=5$$

عوّض عن b بالقيمة 5 في 3a+5b=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$3a+5\times 5=19$$

اضرب 5 في 5.

$$3a+25=19$$

اطرح 25 من طرفي المعادلة.

$$3a=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-2,b=5$$