حل {l}{64x+108y=30}{2x+y=0.7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 64 x + 108 y = 30 } \\ { 2 x + y = 0.7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0.3$$

$$y=0.1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$64x+108y=30,2x+y=0.7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$64x+108y=30$$

اطرح 108y من طرفي المعادلة.

$$64x=-108y+30$$

قسمة طرفي المعادلة على 64.

$$x=\frac{1}{64}\left(-108y+30\right)$$

اضرب \frac{1}{64} في -108y+30.

$$x=-\frac{27}{16}y+\frac{15}{32}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{27y}{16}+\frac{15}{32} في المعادلة الأخرى، 2x+y=0.7.

$$2\left(-\frac{27}{16}y+\frac{15}{32}\right)+y=0.7$$

اضرب 2 في -\frac{27y}{16}+\frac{15}{32}.

$$-\frac{27}{8}y+\frac{15}{16}+y=0.7$$

اجمع -\frac{27y}{8} مع y.

$$-\frac{19}{8}y+\frac{15}{16}=0.7$$

اطرح \frac{15}{16} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{8}y=-\frac{19}{80}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{10} في x=-\frac{27}{16}y+\frac{15}{32}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{27}{16}\times \frac{1}{10}+\frac{15}{32}$$

اضرب -\frac{27}{16} في \frac{1}{10} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27}{160}+\frac{15}{32}$$

اجمع \frac{15}{32} مع -\frac{27}{160} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{10},y=\frac{1}{10}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$64x+108y=30,2x+y=0.7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}64&108\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{64-108\times 2}&-\frac{108}{64-108\times 2}\\-\frac{2}{64-108\times 2}&\frac{64}{64-108\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{152}&\frac{27}{38}\\\frac{1}{76}&-\frac{8}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\0.7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{152}\times 30+\frac{27}{38}\times 0.7\\\frac{1}{76}\times 30-\frac{8}{19}\times 0.7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{10},y=\frac{1}{10}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$64x+108y=30,2x+y=0.7$$

لجعل 64x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 64.

$$2\times 64x+2\times 108y=2\times 30,64\times 2x+64y=64\times 0.7$$

تبسيط.

$$128x+216y=60,128x+64y=44.8$$

اطرح 128x+64y=44.8 من 128x+216y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$128x-128x+216y-64y=60-44.8$$

اجمع 128x مع -128x. حذف الحدين 128x و-128x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$216y-64y=60-44.8$$

اجمع 216y مع -64y.

$$152y=60-44.8$$

اجمع 60 مع -44.8.

$$152y=15.2$$

قسمة طرفي المعادلة على 152.

$$y=\frac{1}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{10} في 2x+y=0.7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+\frac{1}{10}=0.7$$

اطرح \frac{1}{10} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{3}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{3}{10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{10},y=\frac{1}{10}$$