حل {l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-5y=3$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=5y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 5y+3.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

اضرب 3 في \frac{5y}{6}+\frac{1}{2}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

اجمع \frac{5y}{2} مع 2y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{3} في x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{5}{6} في \frac{7}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{35}{18} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{22}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

لجعل 6x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

تبسيط.

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

اطرح 18x+12y=72 من 18x-15y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-12y=9-72$$

اجمع -15y مع -12y.

$$-27y=9-72$$

اجمع 9 مع -72.

$$-27y=-63$$

قسمة طرفي المعادلة على -27.

$$y=\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{3} في 3x+2y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

اضرب 2 في \frac{7}{3}.

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

اطرح \frac{14}{3} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{22}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{22}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$