حل {l}{6x-3y=3}{5x-5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 3 y = 3 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-3y=3,5x-5y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-3y=3$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=3y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 3+3y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1+y}{2} في المعادلة الأخرى، 5x-5y=10.

$$5\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-5y=10$$

اضرب 5 في \frac{1+y}{2}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}-5y=10$$

اجمع \frac{5y}{2} مع -5y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}=10$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في -3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع -\frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-3y=3,5x-5y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{6\left(-5\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-3y=3,5x-5y=10$$

لجعل 6x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$5\times 6x+5\left(-3\right)y=5\times 3,6\times 5x+6\left(-5\right)y=6\times 10$$

تبسيط.

$$30x-15y=15,30x-30y=60$$

اطرح 30x-30y=60 من 30x-15y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x-15y+30y=15-60$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y+30y=15-60$$

اجمع -15y مع 30y.

$$15y=15-60$$

اجمع 15 مع -60.

$$15y=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 5x-5y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-5\left(-3\right)=10$$

اضرب -5 في -3.

$$5x+15=10$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$5x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$