حل {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-2y=4$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=2y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2+y}{3} في المعادلة الأخرى، -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

اضرب -5 في \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

اجمع -\frac{5y}{3} مع y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

أضف \frac{10}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{19}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{2} في x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في -\frac{19}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{19}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

لجعل 6x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

تبسيط.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

اطرح -30x+6y=18 من -30x+10y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

اجمع -30x مع 30x. حذف الحدين -30x و30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-6y=-20-18$$

اجمع 10y مع -6y.

$$4y=-20-18$$

اجمع -20 مع -18.

$$4y=-38$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{2} في -5x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

أضف \frac{19}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$