حل {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-18y=-85$$

أضف 18y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=18y-85$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة 3y-\frac{85}{6} في المعادلة الأخرى، 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

اضرب 24 في 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

اجمع 72y مع -5y.

$$67y-340=-5$$

أضف 340 إلى طرفي المعادلة.

$$67y=335$$

قسمة طرفي المعادلة على 67.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=3y-\frac{85}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

اضرب 3 في 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

اجمع -\frac{85}{6} مع 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

لجعل 6x و24x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 24 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

اطرح 144x-30y=-30 من 144x-432y=-2040 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

اجمع 144x مع -144x. حذف الحدين 144x و-144x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-432y+30y=-2040+30$$

اجمع -432y مع 30y.

$$-402y=-2040+30$$

اجمع -2040 مع 30.

$$-402y=-2010$$

قسمة طرفي المعادلة على -402.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 24x-5y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$24x-5\times 5=-5$$

اضرب -5 في 5.

$$24x-25=-5$$

أضف 25 إلى طرفي المعادلة.

$$24x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$