حل {l}{6x+y=-9}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+y=-9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$6x=-y-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -y-9.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} في المعادلة الأخرى، 2x-3y=7.

$$2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7$$

اضرب 2 في -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{1}{3}y-3-3y=7$$

اجمع -\frac{y}{3} مع -3y.

$$-\frac{10}{3}y-3=7$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{1}{6} في -3.

$$x=\frac{1-3}{2}$$

اجمع -\frac{3}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

لجعل 6x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7$$

تبسيط.

$$12x+2y=-18,12x-18y=42$$

اطرح 12x-18y=42 من 12x+2y=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+2y+18y=-18-42$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+18y=-18-42$$

اجمع 2y مع 18y.

$$20y=-18-42$$

اجمع -18 مع -42.

$$20y=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 2x-3y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-3\right)=7$$

اضرب -3 في -3.

$$2x+9=7$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-3$$