حل {l}{6x+8y=20}{5y+3x=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+8y=20$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$6x=-8y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -8y+20.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+10}{3} في المعادلة الأخرى، 3x+5y=8.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

اضرب 3 في \frac{-4y+10}{3}.

$$-4y+10+5y=8$$

اجمع -4y مع 5y.

$$y+10=8$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -2.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

اجمع \frac{10}{3} مع \frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

لجعل 6x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

تبسيط.

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

اطرح 18x+30y=48 من 18x+24y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-30y=60-48$$

اجمع 24y مع -30y.

$$-6y=60-48$$

اجمع 60 مع -48.

$$-6y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 3x+5y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

اضرب 5 في -2.

$$3x-10=8$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-2$$