حل {l}{6x+5y=1}{x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$6x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -5y+1.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+1}{6} في المعادلة الأخرى، x-y=2.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}-y=2$$

اجمع -\frac{5y}{6} مع -y.

$$-\frac{11}{6}y+\frac{1}{6}=2$$

اطرح \frac{1}{6} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{6}y=\frac{11}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}$$

اضرب -\frac{5}{6} في -1.

$$x=\frac{5+1}{6}$$

اجمع \frac{1}{6} مع \frac{5}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{6\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&\frac{6}{6\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{1}{11}-\frac{6}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

لجعل 6x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$6x+5y=1,6x+6\left(-1\right)y=6\times 2$$

تبسيط.

$$6x+5y=1,6x-6y=12$$

اطرح 6x-6y=12 من 6x+5y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+5y+6y=1-12$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+6y=1-12$$

اجمع 5y مع 6y.

$$11y=1-12$$

اجمع 1 مع -12.

$$11y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-1\right)=2$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$