حل {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+2y=300$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$6x=-2y+300$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+50 في المعادلة الأخرى، 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

اضرب 3 في -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

اجمع -y مع 5y.

$$4y+150=600$$

اطرح 150 من طرفي المعادلة.

$$4y=450$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{225}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{225}{2} في x=-\frac{1}{3}y+50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{225}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

اجمع 50 مع -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

لجعل 6x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

تبسيط.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

اطرح 18x+30y=3600 من 18x+6y=900 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-30y=900-3600$$

اجمع 6y مع -30y.

$$-24y=900-3600$$

اجمع 900 مع -3600.

$$-24y=-2700$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=\frac{225}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{225}{2} في 3x+5y=600. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

اضرب 5 في \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

اطرح \frac{1125}{2} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{75}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{25}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$