حل {l}{6x+2y=130}{3x+4y=130}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 130 } \\ { 3 x + 4 y = 130 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{130}{9} = 14\frac{4}{9} \approx 14.444444444$$

$$y = \frac{65}{3} = 21\frac{2}{3} \approx 21.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+2y=130$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$6x=-2y+130$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+130\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -2y+130.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+65}{3} في المعادلة الأخرى، 3x+4y=130.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}\right)+4y=130$$

اضرب 3 في \frac{-y+65}{3}.

$$-y+65+4y=130$$

اجمع -y مع 4y.

$$3y+65=130$$

اطرح 65 من طرفي المعادلة.

$$3y=65$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{65}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{65}{3} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{65}{3}+\frac{65}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{65}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{65}{9}+\frac{65}{3}$$

اجمع \frac{65}{3} مع -\frac{65}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{130}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 4-2\times 3}&\frac{6}{6\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 130-\frac{1}{9}\times 130\\-\frac{1}{6}\times 130+\frac{1}{3}\times 130\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{9}\\\frac{65}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

لجعل 6x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 130,6\times 3x+6\times 4y=6\times 130$$

تبسيط.

$$18x+6y=390,18x+24y=780$$

اطرح 18x+24y=780 من 18x+6y=390 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+6y-24y=390-780$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-24y=390-780$$

اجمع 6y مع -24y.

$$-18y=390-780$$

اجمع 390 مع -780.

$$-18y=-390$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=\frac{65}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{65}{3} في 3x+4y=130. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\times \frac{65}{3}=130$$

اضرب 4 في \frac{65}{3}.

$$3x+\frac{260}{3}=130$$

اطرح \frac{260}{3} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{130}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{130}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$