حل {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل u، v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة u بعزل u على يسار علامة التساوي.

$$6u+4v=5$$

اطرح 4v من طرفي المعادلة.

$$6u=-4v+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

عوّض عن u بالقيمة -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} في المعادلة الأخرى، 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

اضرب 9 في -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

اجمع -6v مع -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

عوّض عن v بالقيمة \frac{1}{4} في u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{1}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

اجمع \frac{5}{6} مع -\frac{1}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$u=\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة u وv.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

لجعل 6u و9u متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

تبسيط.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

اطرح 54u-48v=24 من 54u+36v=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

اجمع 54u مع -54u. حذف الحدين 54u و-54u، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36v+48v=45-24$$

اجمع 36v مع 48v.

$$84v=45-24$$

اجمع 45 مع -24.

$$84v=21$$

قسمة طرفي المعادلة على 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

عوّض عن v بالقيمة \frac{1}{4} في 9u-8v=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

اضرب -8 في \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$9u=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$