حل {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-100$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$50x+y=200$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$50x=-y+200$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

اضرب \frac{1}{50} في -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{50}+4 في المعادلة الأخرى، 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

اضرب 60 في -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

اطرح 240 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

ضرب طرفي المعادلة في -5.

$$y=-100$$

عوّض عن y بالقيمة -100 في x=-\frac{1}{50}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

اضرب -\frac{1}{50} في -100.

$$x=2+4$$

اجمع 4 مع 2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-100$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-100$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

اطرح 60x+y=260 من 50x+y=200 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$50x-60x=200-260$$

اجمع 50x مع -60x.

$$-10x=200-260$$

اجمع 200 مع -260.

$$-10x=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=6$$

عوّض عن x بالقيمة 6 في 60x+y=260. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$60\times 6+y=260$$

اضرب 60 في 6.

$$360+y=260$$

اطرح 360 من طرفي المعادلة.

$$y=-100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-100$$