حل {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$5y-4z=-1$$

أضف 4z إلى طرفي المعادلة.

$$5y=4z-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4z-1.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4z-1}{5} في المعادلة الأخرى، -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

اضرب -7 في \frac{4z-1}{5}.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

اجمع -\frac{28z}{5} مع 7z.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

اطرح \frac{7}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$z=\frac{38}{7}$$

عوّض عن z بالقيمة \frac{38}{7} في y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

اضرب \frac{4}{5} في \frac{38}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

اجمع -\frac{1}{5} مع \frac{152}{35} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{29}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وz.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

لجعل 5y و-7y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

تبسيط.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

اطرح -35y+35z=45 من -35y+28z=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

اجمع -35y مع 35y. حذف الحدين -35y و35y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$28z-35z=7-45$$

اجمع 28z مع -35z.

$$-7z=7-45$$

اجمع 7 مع -45.

$$-7z=-38$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$z=\frac{38}{7}$$

عوّض عن z بالقيمة \frac{38}{7} في -7y+7z=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

اضرب 7 في \frac{38}{7}.

$$-7y+38=9$$

اطرح 38 من طرفي المعادلة.

$$-7y=-29$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{29}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$