حل {l}{5y+2y=3x-2y/4}{y+4x/3=1-2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 y = \frac { 3 x - 2 y } { 4 } } \\ { \frac { y + 4 x } { 3 } = 1 - 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=\frac{30}{47}\approx 0.638297872$$

$$y=\frac{3}{47}\approx 0.063829787$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

اجمع 20y مع 8y لتحصل على 28y.

$$28y=3x-2y$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$28y-3x=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$28y-3x+2y=0$$

اجمع 28y مع 2y لتحصل على 30y.

$$30y-3x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+4x=3-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$y+4x+6y=3$$

اجمع y مع 6y لتحصل على 7y.

$$7y+4x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$30y-3x=0$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$30y=3x$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=\frac{1}{30}\times 3x$$

اضرب \frac{1}{30} في 3x.

$$y=\frac{1}{10}x$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{10} في المعادلة الأخرى، 7y+4x=3.

$$7\times \frac{1}{10}x+4x=3$$

اضرب 7 في \frac{x}{10}.

$$\frac{7}{10}x+4x=3$$

اجمع \frac{7x}{10} مع 4x.

$$\frac{47}{10}x=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{47}{10}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{30}{47}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{30}{47} في y=\frac{1}{10}x. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{10}\times \frac{30}{47}$$

اضرب \frac{1}{10} في \frac{30}{47} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{3}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

اجمع 20y مع 8y لتحصل على 28y.

$$28y=3x-2y$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$28y-3x=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$28y-3x+2y=0$$

اجمع 28y مع 2y لتحصل على 30y.

$$30y-3x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+4x=3-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$y+4x+6y=3$$

اجمع y مع 6y لتحصل على 7y.

$$7y+4x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&\frac{30}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{141}&\frac{1}{47}\\-\frac{7}{141}&\frac{10}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\times 3\\\frac{10}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{47}\\\frac{30}{47}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 4.

$$20y+8y=3x-2y$$

اجمع 20y مع 8y لتحصل على 28y.

$$28y=3x-2y$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$28y-3x=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$28y-3x+2y=0$$

اجمع 28y مع 2y لتحصل على 30y.

$$30y-3x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y+4x=3-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$y+4x+6y=3$$

اجمع y مع 6y لتحصل على 7y.

$$7y+4x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

لجعل 30y و7y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 30.

$$7\times 30y+7\left(-3\right)x=0,30\times 7y+30\times 4x=30\times 3$$

تبسيط.

$$210y-21x=0,210y+120x=90$$

اطرح 210y+120x=90 من 210y-21x=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$210y-210y-21x-120x=-90$$

اجمع 210y مع -210y. حذف الحدين 210y و-210y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-21x-120x=-90$$

اجمع -21x مع -120x.

$$-141x=-90$$

قسمة طرفي المعادلة على -141.

$$x=\frac{30}{47}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{30}{47} في 7y+4x=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$7y+4\times \frac{30}{47}=3$$

اضرب 4 في \frac{30}{47}.

$$7y+\frac{120}{47}=3$$

اطرح \frac{120}{47} من طرفي المعادلة.

$$7y=\frac{21}{47}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{3}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$