حل {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-4y=11$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=4y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y+11}{5} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

اضرب 3 في \frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

اجمع \frac{12y}{5} مع 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

اطرح \frac{33}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{22}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{11} في x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

اضرب \frac{4}{5} في \frac{1}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

اجمع \frac{11}{5} مع \frac{4}{55} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{25}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

تبسيط.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

اطرح 15x+10y=35 من 15x-12y=33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-10y=33-35$$

اجمع -12y مع -10y.

$$-22y=33-35$$

اجمع 33 مع -35.

$$-22y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=\frac{1}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{11} في 3x+2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

اضرب 2 في \frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

اطرح \frac{2}{11} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{75}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{25}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$