حل {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-4y=-3$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=4y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y-3}{5} في المعادلة الأخرى، 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

اضرب 3 في \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

اجمع \frac{12y}{5} مع -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

أضف \frac{9}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

اضرب \frac{4}{5} في 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

اجمع -\frac{3}{5} مع \frac{28}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

اطرح 3x-4y=-13 من 5x-4y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

اجمع -4y مع 4y. حذف الحدين -4y و4y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5x-3x=-3+13$$

اجمع 5x مع -3x.

$$2x=-3+13$$

اجمع -3 مع 13.

$$2x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=5$$

عوّض عن x بالقيمة 5 في 3x-4y=-13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\times 5-4y=-13$$

اضرب 3 في 5.

$$15-4y=-13$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$