حل {l}{5x-3y=6}{4x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=6$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 6+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6+3y}{5} في المعادلة الأخرى، 4x+2y=3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

اضرب 4 في \frac{6+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

اجمع \frac{12y}{5} مع 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

اطرح \frac{24}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{22}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{9}{22}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{22} في x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -\frac{9}{22} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

اجمع \frac{6}{5} مع -\frac{27}{110} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{21}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

تبسيط.

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

اطرح 20x+10y=15 من 20x-12y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-10y=24-15$$

اجمع -12y مع -10y.

$$-22y=24-15$$

اجمع 24 مع -15.

$$-22y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=-\frac{9}{22}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{9}{22} في 4x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

اضرب 2 في -\frac{9}{22}.

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

أضف \frac{9}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{42}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{21}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$