حل {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=28$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+28$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+28}{5} في المعادلة الأخرى، 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

اضرب 12 في \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

اجمع \frac{36y}{5} مع 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

اطرح \frac{336}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{56}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

اجمع \frac{28}{5} مع -\frac{18}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

لجعل 5x و12x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

تبسيط.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

اطرح 60x+20y=0 من 60x-36y=336 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

اجمع 60x مع -60x. حذف الحدين 60x و-60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-36y-20y=336$$

اجمع -36y مع -20y.

$$-56y=336$$

قسمة طرفي المعادلة على -56.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في 12x+4y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

اضرب 4 في -6.

$$12x-24=0$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$12x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-6$$