حل {l}{5x-2y=7}{2x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 7 } \\ { 2 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=7$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 2y+7.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+7}{5} في المعادلة الأخرى، 2x+7y=-5.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=-5$$

اضرب 2 في \frac{2y+7}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{14}{5}+7y=-5$$

اجمع \frac{4y}{5} مع 7y.

$$\frac{39}{5}y+\frac{14}{5}=-5$$

اطرح \frac{14}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{39}{5}y=-\frac{39}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{39}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{7}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في -1.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع -\frac{2}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&\frac{2}{39}\\-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 7+\frac{2}{39}\left(-5\right)\\-\frac{2}{39}\times 7+\frac{5}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 7y=5\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$10x-4y=14,10x+35y=-25$$

اطرح 10x+35y=-25 من 10x-4y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-4y-35y=14+25$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-35y=14+25$$

اجمع -4y مع -35y.

$$-39y=14+25$$

اجمع 14 مع 25.

$$-39y=39$$

قسمة طرفي المعادلة على -39.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+7y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+7\left(-1\right)=-5$$

اضرب 7 في -1.

$$2x-7=-5$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$