حل {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=14$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{14+2y}{5} في المعادلة الأخرى، 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

اضرب 3 في \frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

اجمع \frac{6y}{5} مع 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

اطرح \frac{42}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{41}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{63}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{41} في x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في \frac{63}{41} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

اجمع \frac{14}{5} مع \frac{126}{205} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{140}{41}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

تبسيط.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

اطرح 15x+35y=105 من 15x-6y=42 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-35y=42-105$$

اجمع -6y مع -35y.

$$-41y=42-105$$

اجمع 42 مع -105.

$$-41y=-63$$

قسمة طرفي المعادلة على -41.

$$y=\frac{63}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{41} في 3x+7y=21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

اضرب 7 في \frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

اطرح \frac{441}{41} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{420}{41}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{140}{41}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$