حل {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=39$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+39$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+39.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+39}{5} في المعادلة الأخرى، 3x+4y=54.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

اضرب 3 في \frac{-y+39}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

اجمع -\frac{3y}{5} مع 4y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

اطرح \frac{117}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في 9.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

اجمع \frac{39}{5} مع -\frac{9}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

تبسيط.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

اطرح 15x+20y=270 من 15x+3y=117 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-20y=117-270$$

اجمع 3y مع -20y.

$$-17y=117-270$$

اجمع 117 مع -270.

$$-17y=-153$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في 3x+4y=54. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\times 9=54$$

اضرب 4 في 9.

$$3x+36=54$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$3x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=9$$