حل {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=35$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+35$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{5}+7 في المعادلة الأخرى، 7x+1,1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

اضرب 7 في -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

اطرح 49 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{10}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=-\frac{1}{5}y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

اضرب -\frac{1}{5} في 30.

$$x=-6+7$$

اجمع 7 مع -6.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1;y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1;y=30$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

لجعل 5x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

تبسيط.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

اطرح 35x+5,5y=200 من 35x+7y=245 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

اجمع 35x مع -35x. حذف الحدين 35x و-35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-5,5y=245-200$$

اجمع 7y مع -\frac{11y}{2}.

$$1,5y=245-200$$

اجمع 245 مع -200.

$$1,5y=45$$

اقسم طرفي المعادلة على 1,5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في 7x+1,1y=40. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+1,1\times 30=40$$

اضرب 1,1 في 30.

$$7x+33=40$$

اطرح 33 من طرفي المعادلة.

$$7x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1;y=30$$