حل {l}{5x+9y=40}{3x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+9y=40$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$5x=-9y+40$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -9y+40.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{9y}{5}+8 في المعادلة الأخرى، 3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

اضرب 3 في -\frac{9y}{5}+8.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

اجمع -\frac{27y}{5} مع 7y.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{105}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{105}{8} في x=-\frac{9}{5}y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

اضرب -\frac{9}{5} في -\frac{105}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

اجمع 8 مع \frac{189}{8}.

$$x=\frac{253}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

تبسيط.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

اطرح 15x+35y=15 من 15x+27y=120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$27y-35y=120-15$$

اجمع 27y مع -35y.

$$-8y=120-15$$

اجمع 120 مع -15.

$$-8y=105$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-\frac{105}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{105}{8} في 3x+7y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

اضرب 7 في -\frac{105}{8}.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

أضف \frac{735}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{759}{8}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{253}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$