حل {l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+6y=32$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$5x=-6y+32$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -6y+32.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-6y+32}{5} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=-20.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

اضرب 3 في \frac{-6y+32}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

اجمع -\frac{18y}{5} مع -2y.

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

اطرح \frac{96}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{28}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

اضرب -\frac{6}{5} في 7.

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

اجمع \frac{32}{5} مع -\frac{42}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

تبسيط.

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

اطرح 15x-10y=-100 من 15x+18y=96 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y+10y=96+100$$

اجمع 18y مع 10y.

$$28y=96+100$$

اجمع 96 مع 100.

$$28y=196$$

قسمة طرفي المعادلة على 28.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في 3x-2y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times 7=-20$$

اضرب -2 في 7.

$$3x-14=-20$$

أضف 14 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=7$$