حل {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+5y=15$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$5x=-5y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -5y+15.

$$x=-y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -y+3 في المعادلة الأخرى، 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

اضرب 4 في -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

اجمع -4y مع 10y.

$$6y+12=-2$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$6y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{3} في x=-y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

اضرب -1 في -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

اجمع 3 مع \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

اطرح 20x+50y=-10 من 20x+20y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-50y=60+10$$

اجمع 20y مع -50y.

$$-30y=60+10$$

اجمع 60 مع 10.

$$-30y=70$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{3} في 4x+10y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

اضرب 10 في -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

أضف \frac{70}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{64}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$