حل {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+4y=-3$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$5x=-4y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y-3}{5} في المعادلة الأخرى، 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

اضرب 6 في \frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

اجمع -\frac{24y}{5} مع 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

أضف \frac{18}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{8}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{8}{9} في x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

اضرب -\frac{4}{5} في -\frac{8}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

اجمع -\frac{3}{5} مع \frac{32}{45} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

لجعل 5x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

اطرح 30x+15y=-10 من 30x+24y=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-15y=-18+10$$

اجمع 24y مع -15y.

$$9y=-18+10$$

اجمع -18 مع 10.

$$9y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{8}{9} في 6x+3y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

اضرب 3 في -\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

أضف \frac{8}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{2}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$