حل {l}{5x+3y=190}{3x=2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 190 } \\ { 3 x = 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=30$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=190,3x-2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=190$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+190$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+190\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+190.

$$x=-\frac{3}{5}y+38$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{5}+38 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=0.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+38\right)-2y=0$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{5}+38.

$$-\frac{9}{5}y+114-2y=0$$

اجمع -\frac{9y}{5} مع -2y.

$$-\frac{19}{5}y+114=0$$

اطرح 114 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{5}y=-114$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في x=-\frac{3}{5}y+38. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times 30+38$$

اضرب -\frac{3}{5} في 30.

$$x=-18+38$$

اجمع 38 مع -18.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=30$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=190,3x-2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 190\\\frac{3}{19}\times 190\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=30$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=190,3x-2y=0$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 190,5\times 3x+5\left(-2\right)y=0$$

تبسيط.

$$15x+9y=570,15x-10y=0$$

اطرح 15x-10y=0 من 15x+9y=570 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+9y+10y=570$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+10y=570$$

اجمع 9y مع 10y.

$$19y=570$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=30$$

عوّض عن y بالقيمة 30 في 3x-2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times 30=0$$

اضرب -2 في 30.

$$3x-60=0$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=30$$