حل {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+10y=-70$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$5x=-10y-70$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -10y-70.

$$x=-2y-14$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-14 في المعادلة الأخرى، -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

اضرب -8 في -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

اجمع 16y مع 30y.

$$46y+112=20$$

اطرح 112 من طرفي المعادلة.

$$46y=-92$$

قسمة طرفي المعادلة على 46.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-2y-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

اضرب -2 في -2.

$$x=4-14$$

اجمع -14 مع 4.

$$x=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-10,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-10,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

لجعل 5x و-8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

تبسيط.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

اطرح -40x+150y=100 من -40x-80y=560 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

اجمع -40x مع 40x. حذف الحدين -40x و40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-80y-150y=560-100$$

اجمع -80y مع -150y.

$$-230y=560-100$$

اجمع 560 مع -100.

$$-230y=460$$

قسمة طرفي المعادلة على -230.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -8x+30y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

اضرب 30 في -2.

$$-8x-60=20$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=80$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-10,y=-2$$