حل {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+2}{5} في المعادلة الأخرى، 2x-5y=2.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

اضرب 2 في \frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

اجمع -\frac{2y}{5} مع -5y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

اطرح \frac{4}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{27}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{2}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{9} في x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في -\frac{2}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع \frac{2}{45} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

تبسيط.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

اطرح 10x-25y=10 من 10x+2y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+25y=4-10$$

اجمع 2y مع 25y.

$$27y=4-10$$

اجمع 4 مع -10.

$$27y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 27.

$$y=-\frac{2}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{9} في 2x-5y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

اضرب -5 في -\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

اطرح \frac{10}{9} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{8}{9}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$