حل {l}{4x-y=10}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-y=10$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{4}+\frac{5}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

اضرب 3 في \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

اجمع \frac{3y}{4} مع 2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{11} في x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

اضرب \frac{1}{4} في \frac{2}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{1}{22} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{28}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

تبسيط.

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

اطرح 12x+8y=32 من 12x-3y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-8y=30-32$$

اجمع -3y مع -8y.

$$-11y=30-32$$

اجمع 30 مع -32.

$$-11y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{2}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{11} في 3x+2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

اضرب 2 في \frac{2}{11}.

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

اطرح \frac{4}{11} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{84}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{28}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$