حل {l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-7y=-4$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=7y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 7y-4.

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{4}-1 في المعادلة الأخرى، 7x+5y=-7.

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

اضرب 7 في \frac{7y}{4}-1.

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

اجمع \frac{49y}{4} مع 5y.

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{69}{4}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{69}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{7}{4}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

لجعل 4x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

اطرح 28x+20y=-28 من 28x-49y=-28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-49y-20y=-28+28$$

اجمع -49y مع -20y.

$$-69y=-28+28$$

اجمع -28 مع 28.

$$-69y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -69.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 7x+5y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=0$$